��ѧ��Erdos�Ĺ���

 


����1����

����һ����ѧ�Ҿ���һ̨�ѿ���ת��Ϊ��ѧ�����Ļ�����--P. Erdos

Erdos(1913-1996)�ǵ�����ΰ�����ѧ��֮һ����һ����ͬ485λ�����߷�����1475ƪ��ѧ���ģ��漰��ѧ�����������������Щ������ Ҫ�������Ĵ��ǡ��������֡�����ȻҲ��һЩ�ӱ��Ѽ����Ĺ��¡�

����ǰ���������Ƕλ���ʾ��һ�칤��19��Сʱ���ϣ��ڹ�ϡ֮����Ȼ��ˣ���Erdos���˷ܼ���������1979�꣬�������� Graham��Erdos��ģ�ֻҪ��һ����֮�ڲ����ð���������Graham�������500��Ԫ��Erdos�ɹ���Ӯ������δ�ģ�������Graham ˵��"�����֤�����Ҳ���һ�����ӣ��������ʱ������һ�����ɡ����糿�����Ͷ���һ�Ű�ֽ�������������⣬����ͨ��û��ʲô���������ʹ��ѧ�ķ�չ�� ����һ���¡�"�������������¿�ʼ�����˷ܼ�����


����2����

SF�������Ǿ���Ϊ�������ǵ�ʹ��ȡ�֣������������磬���ļƻ���������ա�--Erdos

Erdos��һ�����Լ������ԡ�����˵�������ϵ�Ϊ"SF"��Supreme Fascist�����ķ���˹���ӣ�����Ϊ��������ĥErdos�����������۾���͵���������������գ������ѳ��Ÿ��ֹŹֵ���ѧ����Ľ���������֡� Erdos������η�ϵۣ���������Erdos��Ψһ�������ʹ���޷��ٽ�����ѧ�о�������������˵��"�ڷ�Ĺ���е���ʱ����Ϣ��"

Erdos������ѧ�о��ķ�ʽ�ܶ��ء�������������������صĴ�ѧ���о��������Űݷ��������ѧ�ң���Է�������"�ҵ�ͷ�Գ����š�"Ȼ�����DZ㿪ʼ���� ��ѧ���⣬һ���������죬ֱ��˫���������Ϊֹ�����Ӳ���һ����������������һ���£������������ǣ�"��һ���ݶ�����һ��֤������Another roof, another proof.��"


����3����

�����IJ�����ʲôʱ��������ͷ�ϵģ�--Erdos ���õ��ʺ���

����SF֮�⣬Erdos���кܶ���ص��������С��Ϊ�ţ����ﱲΪ��^2�������ƴ�ò��õ���Ϊo(x)����Ů��Ϊ"����"������Ϊ"ū��"�����Ϊ "����²��"�����Ϊ"������"������Ϊ"����"���ƾ�Ϊ"��ҩ"������һ����ѧ����Ϊ"����"������ѧ��Ϊ"��ֵһ�����"������"Sam"������Ϊ "Joe"��

Martin Gardner��һ�μ�������ʱ������Gardner��"����ʲôʱ�򵽵ģ�"Gardner��æ��������ʱGrahamС��������������Erdos�� ˵����仰����˼�ǣ�"����ʲôʱ������ģ�"


����4����

һ����ѧ�ұ�������ÿ�����ڶ���һЩ�µ��о������ų�Ϊ��ѧ�ҡ�--Erdos

Erdos��������ͬ��ʱ����ϲ���ʣ�"��������ʲô�µķ��֣�"����ʵ�ϲ�����ÿ����ѧ�Ҷ�����������ÿ�귢��50��ƪ���ģ�

һ�Σ����ڰ����ݽ���һλ������ѧ����������ijλ�о�ʿͷ�ε�Ӣ����ѧ�ҵĽ��������ش�"��������ļһ�����ǰ������ȥ�ˡ�"����һλ������ѧ��ȴ ˵��"�����ܣ��ϸ����һ���������������"Erdos��"��Ӧ�������ҵ���˼������ָ��������û�и��ʲô�¶�������"

��Erdos�������"����"��ָ����˲��ٽ�����ѧ�о���"�뿪��"��������������ѧ�����ϵ�������

����5����

��ֻҪ����ֽ�����£�����˼����--Erdos

�ںܶ���Erdos����Ƭ�ϣ������ǵ���ͷ�ġ��������ƺ�����������Ϊ���ڴ����Erdos����������˼�����⡣

1939�꣬Erdos������M.Kac��Princeton�о�������һ�����档�º�Kac�����������"���ұ���Ĵ󲿷�ʱ���ڣ�������Ҫ˯���ˡ��� ������ݸ�������Ȥ����մ�ߡ��ڽ�����βʱ�Ҵ���˵��һ�����������ӷ������������ѡ�һ�������ۣ�Erdos���Ͼ;��������������ٽ���һ�µ��������� �ġ����������ӣ����滹û�н�����Erdos�ʹ���ҵĽ����������������ˣ�"

ע��Mark Kac��������������ѧ�ң���Ҫ�о�����������ѧ����������������������Feynman-Kac��ʽ��

����6����

�����������˵��������ڣ�ÿ��ս�����Ƕ�վ���˶ӡ�--Erdos

Erdos��1913��3��26�ճ����ڲ�����˹��һ�����������˵���̫�˼�ͥ������������̫�����������Զ����Ĺ��ϵ����壬����������������ΰ�ˡ���ʮ ����󣬵�Erdos��������ʱ��Gordon Raisbeck�ڸ�Erdos�ı��õĵ�������д����

����"����˵��������ѧ�����۴��ڵ�������֮�����Եĵ��������һ��˵����������˴��ڣ���ô���ǵ�����ˮƽ���п��ܳ����������࣬ ������ǿ���Ԥ�������Ѿ����ʵ����ˡ�������˵��'��������û������ʲô�ۼ��أ�'����һλ��ѧ�Ҹ�������ʱ�����������'�꣡���������Գ��������ˡ�' ����������Erdos�����ܳ����ˣ��ųɾ��������ĵ�ʡ�"


����7����

�Ҹ�����ĸ�ף��������100��ȥ250�����õ�-150.--Erdos������4��ʱ�ľ���

���˵����������������ţ���Erdos����������֮һ��������ѧ��ʱ�������о�����������ĸ�׻��ж�ò��ܷżٻؼҡ�����ʱ��������ս���б������˷� ²��ĸ����ѧУ���飬������һ����ͥŮ��ʦ��������3��ʱ������������3λ���ij˷���4��ʱ��"����"�˸�����ͬ����4��ʱ���������һЩ����˻�ȥ̫ ����೤ʱ��֮����ƿ�Ц������������Ϸ��������ĸ�׵������Ƕ��Ȼ����������������Ѿ����˶����롣

���ϸ���֮ǰ����ĸ��һֱ��������ѧ����Ϊ��������ô�Ⱦ����

����Ӣ���Ǹ�������ѧ�ģ�--�������ڼ���Ӫ��Ϊ�˴�ʱ�䣬����һ������ѧ��Ӣ�����Erdos��Ӣ�﷢��һֱ����⣬��Ϊ���ĸ��״���û�������ص� ��Ӣ�


����8����

����������ô��ij�������Ҷ�����˵�������ϵ۴��ڵĻ����Dz���Ҳ��ʥ��ġ�--Erdos

1919�꣬Mikl��s Horthy��������������ŷ�޵�һ������˹��Ȩ����������һ��Ѫ�ȵ������˶���������̫�˱����뿪�����������а���E.Teller,J.von Neumann, L.Szilard, E.Wigner. ���ĸ��˶�ȥ�˵�ʱ�Ŀ�ѧʥ��--�¹���������������ֶ��ӵ����������������������ٹ��̡�

Erdosһ�Ҳ�û���뿪����ʱ��̫�˾����ڹ��컯��֮���⵽Ź��������ɱ����Wigner�����ⱩͽϮ������Erdos��ĸ������Erdos˵��"��֪ ��������̫��ʵ����̫���ˣ������Dz���Ҫȥϴ��"�����Erdos�ش����"�Ǻã���������������ģ����һ����ԭ��һ����"

�����Erdos���Ӳ�������Լ�ԭ���Erdos.

�۹�Erdos��һ�����������κη���˹Ȩ������������װ��ͽ�����Dz�ѧ�����Ĵ�ѧ���š���������ֹ�Ա�����������ܾ��졢FBI����ɼ�������������� �ۡ�

ע��Edward Teller����������ѧ�ң�����Ϊ"�ⵯ֮��"��

John von Neumann��20������ΰ�����ѧ��֮һ���ڴ�����ѧ��Ӧ����ѧ�����������ж����������ױȵĹ��ס���"���Ӽ����֮��"��һ��ν������ʹ�������� ����

Leo Szilard����������ѧ�ҡ�����ѧ�ң�����ʽ��Ӧ������߼�ר��ӵ���ߡ�1939��8��2�գ�������Wigner��Teller�Ľ����£� Einstein����˹����ͳд�ţ��������������ɴ�¹�֮ǰ���Ƴ�ԭ�ӵ���--��ʵ�ϣ��Ƿ������ż�����Szilard��ݵġ�

Eugene Wigner��20��������Ҫ����������ѧ��֮һ����1963��Nobel�������� ������Dirac�Ĵ���ӡ�


����9����

�Ҳ�����Ϊʲô���dz��μ���ʱ��������--˵��ȫ������ƽ���͸��ָ�����֤�������ҽ����˽���֮���ҷ���������������ϲ������������ˡ�������������� ���ܽ���Ϊʲô��������˵����֪��������֤����--A.V��zsonyi��Erdos�Ļ���

1930�꣬17���Erdos��һ�μ���14���V��zsonyiʱ��ǰ�߶Ժ���˵�ĵ�һ�仰�ǣ�

"���Ҿٳ�һ��4λ����"

V��zsonyi�����"2,532."

"����ƽ����6,411,024. �Բ��������ˣ������һ���������������������"

Erdos���ʵ���"��֪���ϴ����˹�����Ķ�����֤����"

"1�֡�"V��zsonyi˵��

"��֪��37�֡���֪��λ��һ��ֱ���ϵĵ㲻�ܹ��ɿ���������"�̶�Erdos������һ��֤��������Ȼ����˵���������ˡ�

��ʮ�����V��zsonyi��Ȼ�����ؼǵõ�ʱ�����Σ�

"��Erdos˵������'��'ʱ������ֻ�����һ�����ű����������ӣ�ҡ����˫�ۣ����Ž�һ���С�ܣ���������ʱʱ��ͷ������������������Դ�֮������ ��̬��̫����ˣ�������Щ��֡��������ߵúܿ죬������չ������һ��ǽֱ���ȥ��Ȼ��ͻȻֹ������Ȼ��ͷ���������ܡ���һ����û��ֹס�Ų���һ����ײ��ǽ �ϣ�Ū�����Լ���"


����10����

�������һֻ���ӣ����֪���ˡ�--Erdos������������һֻСè��Ϊ����˹��ԭ��

�����ܵ����ַ��̷��ɵ����ƣ�Erdos���ǵ�����17��������벼����˹��P��zm��ny P��ter��ѧѧϰ���������������������ڹ�԰��㳡��������ѧ�����ʱ�¡�

��ʱ�ķ��ɽ�ֹȺ�ھۻᣬ�������о�������������ǡ����Ǹо���̽�������ڣ����ܹ��������ԡ����Դ���ʱ��Erdos��ʼʹ��һЩ�Լ����е�������� "������"���������������ߣ���Ϊ��ɫ��IJ����ϳ�����Ӧ�أ���"�̲���"����������˹�����ߡ�

���β����ܸ���Erdos�����������Ƕ���ѧ����Ȥ��V��zsonyi����˵��"����Erdos�����������������������������һ�У���������֮���ƺ� ����ij����������й�ϵ��"��ѧһ�꼶ʱ��Erdos��֤����Bertrand���룺"��n��2n֮���ܴ���һ������������n�Ǵ���1��������"������� �������1848����Chebyshev֤���ģ���Erdos��֤����Chebyshev��Ҫ�򵥵öࡣ

20��ʱ��Erdos������Ҫ�ù�ϣ��ʱ������������Eratosthenesɸ�����������������ij���֤���������������Ȼ�����ˡ����Ǻ󻰡�

ע��Joseph Louis Francois Bertrand��19���ͷ�����ѧ�ң������ۡ������ۡ����Ρ�΢�ַ��̵�������й��ס�

Pafnuty Lvovitch Chebyshev��19���Ͷ�����ѧ�ң�����ѧ���������п����Թ������Ƕ�����ѧ�ĵ���ˡ�

Eratosthenes����Archimedesͬʱ����ѧ�ߣ���������ɽ��ͼ��ݹݳ���

����11����

������̫�ˣ�����������ʱ�Ǹ��뷨��˹���ҡ�--Erdos̸�����뿪��������ԭ��

����12���ʱ��Erdos�������֪�������������ϵ�ԭ����������뿪��������1934�꣬������˲�ʿѧλ�����㵽Ӣ����Manchester ��ѧ�������IJ�ʿ���о���

��Erdos�ִ�Ӣ���ĵڶ��죬������������������˵�IJ�Ѱ�������飬����һ���������ģ�

Erdos��ǰ����û�и����ƬĨ�����ͣ��ڼ��ﶼ����ĸ�׻�Ӷ�˸���Ĩ�ġ����������"������ؼǵã���һ���Ҹ�ȥӢ��ѧϰ������ʱ�����������Ҫ�� �����Լ�����û��Ĩ�����ͣ���̫�����ѿ��ˣ������Ҿ������ԡ�������̫�ѡ�"

����10��ǰ������11���ʱ������һ�θ��Լ�ϵ��Ь����

����12����

��õ���ѧ�������ģ�ͬʱ��������ġ�--G.H.Hardy

��Erdos�ִ�Ӣ���ĵڶ��죬������������һ���£����ܶ�����Ӱ������Ǿ������������Ǹ�ʱ����Ϊ�������ѧ��--Godfrey Harold Hardy.

��ѧ���кܶ������ͣ���Erdos�����Ŀ�ν��ë��ǡ���������������Ŀ�е���ѧ�Ҷ���Erdos�����ӵġ���Hardy��ν�Ǹ�Erdos��Ȼ�෴�� һ����ѧ�ҡ�

Erdosÿ�칤��19��Сʱ��Hardy���������й��ɵöࣺ��ÿ��ֻ��4��Сʱ������9�㵽����1�㣩������ѧ�о���������������������� B.Russell,C.P.Snow, G.E.Moore, A.N.Whitehead, J.M.Keynes, G.M.Trevelyan, E.M.Forster, L.Strachey, L.Woolf�����ҽ�̸��

Erdosֻ����ѧ����Ȥ��Hardy����Ȥ��㷺�öࡣ��һ�꣬���ڸ����ѵ�����Ƭ��̸���������6����㣺"1.֤��Riemann���裻2.������ 211���ڰ������ٰ�İ�������׶ε��ľֱ����г��֣�3.�ҵ������ù����ŷ���֤���ϵ۲����ڵ��۾ݣ�4.��Ϊ�������������ĵ�һ�ˣ�5.��Ϊ������ ���е߼�����־����������������ͳ��6.ıɱMussolini."

Erdos�������������ߣ�Hardy���������У������Ǻ������������Hardy���ò��˴����������ͻ�����Ѽ�һ������Ƭ�������Լ��Ѿ�֤���� Riemann���衣����Ϊ����һ���ϵ۾Ͳ�����������;����ȥ����Ϊ�ϵ�--��"���˵ĵ���"--�Dz�����������֤��Riemann����������ġ�

Erdos��ò�������ȥ����Щ���ʣ�Hardy���dz������������ӣ�ʮ�����ʿ��

��Ȼ������Ҳ��һЩ��ͬ�㣬����˵�������˶���̫ϲ���ϵۡ�Hardy�ܾ������κδ��г��ɫ�ʵĵط���Ϊ��Ǩ���������Ŵ�ѧ������У�������һ����ʹ�� "���Ի���ijЩְ�𣬲��μ���ݡ�"��������Ҳ������δ�顣���Ƕ�ϲ�����˺�����Hardy��Little-wood��Ramanujan�ĺ��������Ա� �˽���ֵ���Erdos���ж��485�������ߡ�

�������˸���Ҫ�Ĺ�ͬ���ǣ����Ƕ��Ǵ����ִ�����ѧ�ң�����Ҳ���ǵ�һ������ѧ�ҡ�

ע��Godfrey Harold Hardy�����ŷ���ѧ�ɺ��ڵ����������Ҫ�о����ͷ�����������ۡ�

Bertrand Russell��20����������������Ҫ����׿Խ��˼���֮һ������1950��Nobel��ѧ����

Charles Percy Snow��Ӣ��С˵�ҡ�����ѧ�Һ�������Ա�����ν��Ŵ�ѧ�����쵼�ˡ�

George Edward Moore��Ӣ��ʵ������ѧ�ң����С�����ѧԭ����������ѧ�о����ȡ�

Alfred North Whitehead��Ӣ����ѧ�ҡ���ѧ�ң����С���ѧԭ��������Russell����������������ʵ�ڡ�������������ա��ȡ�

John Meynard Keynes����ʷ������ΰ��ľ���ѧ��֮һ��

George Macaulay Trevelyan��Ӣ������������ʷѧ�ң����ν��Ŵ�ѧ��һѧԺԺ����

Edward Morgan Forster��Ӣ��С˵�ҡ�ɢ�ļҡ�������ѧ���ۼң�����С˵�������ȶ��¡�����ӡ��֮�С��ȡ�

Lytton Strachey��Ӣ���������ҡ������ң����С�ά������Ů��ʱ�����˴����ȡ�

Leonard Woolf��Ӣ����ѧ�ҡ�����ҡ�������ʿ�����ߺ͹��������ߣ�������Virginia Woolf���ɷ�

Georg Friedrich Bernhard Riemann��19���͵¹���ѧ�ң�����ѧ�����������ھ�����ŵĿ����Թ�������20������ѧ�ķ�չ�������Թ�������ԶӰ�졣

John Edensor Littlewood��Ӣ����ѧ�ң���Hardy���к�����35�꣬��ͬ׫д��100ƪ���ġ�

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan����ŵ�ӡ����ѧ�ң�����������������ž��˵�ֱ����

����13����

�����͢������--Erdos�����е���̫��ף�ƴ�

��Ӣ����Erdos��ʼ�������������ġ���Ƶ��������Ӣ���ĸ�����ѧ֮�䣬��û�������������ͬһ�����С���ʱ��������ѧ�������Ǹ�͢����ѧ������ϣ�� �յ�������ʹ��͢����ʼ˥�䡣Erdosһֱ��ȥ��͢��������Ϊ��̫�˵���ʼ��û�д�������Ը��

��ÿ��Ҫ�ز�����˹���Σ�����˫�׺������ѡ���һ�Σ������ؼ��ڼ䣬V��zsuoni���о�һ��ͼ�����⣬���ҵ����������ı�Ҫ���������������"�Ҽ� ��������Erdos���档���ҷ���һ�������Ĵ���--���ڵ绰����Լ��ķ��ָ����������ҳ���������������ģ�����Ϊ����20���Ӻ�ͻص��������֤���� ���Եķ�����'�����ģ�'���룬'������ֻ�ú�������д��ƪ�����ˡ�'���������Erdos��'1'�������Ҵ�����ʲô���Ҽ���һ����֪��"

"Erdos��"����ѧ��������һ����ʡ�����ÿһ����ѧ�Ҹ���һ��Erdos����Erdos���˵�Erdos����0������Erdos�������������µ��� ��Erdos����1��û����Erdos�������������£�����Erdos��Ϊ1���˺���������2��������Ȼ�������������κ�һ��ľ��ǡ�.

����14����

Wir Mathematiker sind alle ein bi��chen meschugge. ��������ѧ�Ҷ���Щ��񡣣�--E.Landau����Erdos˵��һ�仰

�ڳ��������ѧ��������Щ���ˡ���ʵ��ѧ�Ҷ�뻹�Ǻ������ģ�ֻ�ǵ�����˼������ѧ����ʱ���Ժ�����ݲ��ñ�Ķ����ˡ�

Harold Davenport������Anne Davenport����˵��"��һ������һѧԺ������������30�����Erdos�����ɷ���һ����������˼����һ����Сʱ���˴�һ�Բ�������� Harold˵��'�ⲻ��0������1'����Ŵ����˳�ʱ��ij��š�Ȼ����������ظ���һƬ�����ˡ�������Χ���˶���Ϊ���Ƿ��ˡ���ȷ�������Ƿ��ˡ�"

ע��Edmund Landau���¹���ѧ�ң���Ҫ�о������븴�亯�������ڰ��ִ�ѧ�͸�͢����ѧ�ν��ڡ�Erdosûȥ����͢����Landauȴ���ʹ����ţ����ǿ��ܾ��� �ڽ��ż���ġ���˵Landau����Littlewood����˵Ĵ����ԣ�����ר��ȥӢ������һ�¡�������»�������һ�ְ汾��˵Wiener�ڷ��ʽ��� ʱ������Littlewood����˵��"����ԭ������������ôһ���ˣ��һ���ΪLittlewood��Hardy������Щд�ò�̫�õ�����ʱ���õĻ��� �أ�"Wiener�����Ц���е��dz����գ�ר�����Դ������ҥ��

Harold Davenport, ����ѧ�ɵ�����ר�ң������׶���ѧ����ϯ���и�������196�֡�

����15����

�����о�������Ϊ����һ����ѧ�ң���������Ϊ���о�Leibniz.--Erdos��Godel����˵

1938��9��3�շ����˽ݿ��¼�������Erdos���ڲ�����˹����������ҴҸϻ�Ӣ�������ܺ���ȥ����������λ��Princeton�ĸߵ��о��� ��Institute for Advanced Study��������

�ߵ��о�����30�������Bamberger���þ����˽��ģ���������Ϊ������Abraham Flexner. ����о���Ƹ��ĵ�һ���о�Ա�ǣ�Alexander, Einstein, Morse, Veblen, von Neumann, Weyl.

Oppenheimer���Ƹߵ��о�����һ������Ժ��--�������Ժ����Լ���Ϊ��ҷ���Ժ��Ժ���������Erdos�϶��㲻������ţ���ȴ��Ȼ�Եúܹ� �죬��Ϊһ����Ժ�������Ϊ����"uncouth and unconventional"������Ƹ�ˡ����������Erdosȴ�����о�����������ӳ�Ϊ������ѧ�����гɹ���ʱ�ڡ�

��ʱ�ĸߵ��о���ӵ�����������ɫ��һ����ѧ�ң�����˵Godel. ��ʱ��Godel����Ȥ�Ѿ�ת�����ζ���ѧ������Erdos���������ò��ɿ�����

ע��Gottfried Wilhelm Leibniz��17���͵¹��ٿ�ȫ��ʽ��ѧ�ߣ�΢���ֵĴ�ʼ��֮һ��

Kurt Godel���µ�����������ѧ�ҡ��߼�ѧ�ҡ�

James Waddell Alexander����������ѧ�ҡ�

Harold Marston Morse��������ѧ�ң�Morse���۵Ĵ����ߡ�

Oswald Veblen����������ѧ�Һ�����ѧ�ҡ�

Claude Hugo Hermann Weyl��Hilbert�ĵ���������20������ΰ�����ѧ��֮һ��

Robert Oppenheimer����������ѧ�ң������ټƻ��������ˣ�����Ϊ"ԭ�ӵ�֮��"��


����16����

��֪��Einstein�����ŷ��˸񻯵��ϵۣ���Ϊ���ʹ�����--Erdos

��ͬ�Ǹ�ʱ��������Princeton��������һ����Erdos��������Einstein��������һ����Einstein�ҳ��緹ʱ��Erdos���Լ��� �Ӱ����������۽���Einstein����Einstein����һ���۵����ۺܸߣ�������ϸ�ڲ�������Ȥ��

����������Ҫ���۵Ļ��⻹�����Ρ�Erdosһ��ܹ������Σ��������������κ�������ձ����ⷢ��һЩ�������ۡ�

ԭ�ӵ�������ʹEinstein�ٴγ�Ϊ�����ע�Ľ��㣬--����û��EinsteinҲ�����ԭ�ӵ���Erdos����Einstein��"40��ǰ���� ����������ܷ��̻����������֮��õ�Ӧ����"Einstein˵��"��û�ϵ���������Ҳ�����ջ�õ�Ӧ�ã���û�ϵ�����ô�졣"

��ʵ��Einstein����Erdos�����Ŀ�ѧ�Ҳ����ܹ����Լ��������ܷ�õ�Ӧ�á�һ�����˵�������Erdos�����ݷù���Hardy������������� �������Ǻ����ô��ģ��������ۺ�����ۣ�--���ҵ������ٵ����������Ӷ����ˡ�

����17����

����Princeton�Ĵ����������ȥ��������˫�֣��������˵رȻ��š�--Louise Straus��Erdos�Ļ���

ͬEinstein��ȣ�������ѧ����Ernst Straus��Erdos֮�����Ÿ���Ĺ�ͬ���ԡ�ÿ�������Լ���������ס���ʱ�������ܵ�Straus�ļ�����������졣

��ʱStraus�򸾾����ڰ�ҹ������һ�����죬����Erdos�ڿ�������--����û�뵽Ӧ������ذѴ������¡�������ʹ����ԡ���������ˮ��ͷ���ϡ��� �����õ绰ͤ�ﳹҹ��ͣ����������Ӳ�ң���������ص���ѧ�Ҵ�绰�������Լ���Straus���Ȼ��������������⡣�������븽����һЩ���ѵ��������� ���������Ƿ�ͬ�⡣

�������Ժ�Straus˵��"Einstein������˵����������һ����ѧ�Ҷ��ԣ���Ҫ�����ǽ���������⣬����Ϊ������������--������Щ������ѣ� ��ô�����ջ�����Erdos��ȫΥ����Einstein����һ����������ȴȡ���˳ɹ�������������������������ÿһ�����⣬���ɹ���������еĴ󲿷֡�"

����18����

��Ӧ����һ��ʵ�ʵ�����������--Halmos��Erdos��Ȱ��

P.R.Halmos�����ع�Erdos��Princetonʱ����һ�����¡�Hurewicz�������������һ�����⣺Hilbert�ռ��������㼯�� ��ά���Ƕ��٣�Erdos�����������󣬱���"Hilbert�ռ�"��"ά��"����ʲô��˼�����˰Ѷ�����������ܿ�Erdos��ó��˴𰸡����� Erdos��һ��������һ����֪�����������Ĺ��ף�

ע��Paul Richard Halmos����������������ѧ�ң�Springer-Verlag���������ࡣ���С�����ۡ��ȡ�

Witold Hurewicz��������������ѧ�ң�ά�����ۺ�ͬ���۵Ŀ����ߡ�

David Hilbert���¹��ˣ���ʷ������Ӱ�����ѧ��֮һ����ʹ��͢����Ϊ��ʱ��������ѧ�ҳ��ݵ�ʥ�ء�

����19����

Erdos���κ�ʱ�̶����о���˼����--S.M.Ulam

��ʱ��Erdos��ͷ���׾ݣ�ֻ�ܿ���ѧ�������ķ��ʽ������ա����ߵ��о�����Ƹ����һ��ʧȥ��������Դ���Һ�Ulam���������Ԯ��֮�֡�Ulam�� Erdos�ڽ��Ž�ʶ�����ѣ�������֪Erdos�ľ����󣬱�����Erdos����������Wisconsin-Madison��ѧ�����ʡ�

�������Ժ�Ulam�������Դ��л������"Erdos�����е�ƫ�£����ȵ����ʣ�����������'�ϴ�����'�����߻���������˫�ۡ�������������������� ˼������ѧ���⣬ֻ��������һЩ��ģ�����������ʱ�����κ�������ձ����ⷢ���൱���۵�����ʱ�Żᱻ��ϡ������ͻȻ������һ������˼���뷨���ͻ�һ�� ��������������˫�ۣ�Ȼ������������"

ע��Stanislaw Marcin Ulam��������������ѧ�ҡ������о����ˣ�������������ٹ��̣���Ȥ��ת��Ӧ����ѧ������Monte Carlo�����Ĵ�ʼ��֮һ��

����20����

��(Erdos)�������صļ��ܣ�������������¡��������ѧ������Ԥ��ԭ�ӵ��ķ�Ӧ��--Ulam

1943�꣬Ulam��Los Alamos����ԭ�ӵ������ơ�������Ȱ˵ErdosҲ�������ǵ����У�Erdos����Ҳ��Ը��Ϊ������˹������������Erdos������ͬ�� E.Tellerд�ţ�������������ٹ��̡���Erdos�������ر�ǿ����ս��Ҫ��������������������Ȼ�ر�ȡ�����ʸ�

Erdos������ϲ����Ȩ�����Ÿɣ����Ҹ��������ظ��ֱ��ܹ�����������Los Alamos��P.Lax����һ������Ƭ��"�װ���Peter���ҵļ��������Sam������ԭ�ӵ��������ң����������"

����һ�Σ�Erdos�Ͱ���Lax���ڵļ�����������һ���������ϯ������һֱ���������サ̸��ErdosȴͻȻ��Ӣ������ʣ�"ԭ�ӵ������ƽ�չ��Σ� "

ע��Peter Lax����������������̫��ѧ�ң���Ҫ�о�����������ƫ΢�ַ��̺�Ӧ����ѧ������������ѧ����ϯ������ԭ����ίԱ������Ӧ����ѧ�������Ρ�ŦԼ��ѧ Courant��ѧ�о���������ŦԼ��ѧCourant��ѧ�ͼ���ʵ�������Ρ�1987���Wolf���������DZ�����ѧ�����о���ʿ��

����21����

��ѧ������û�з۱ʡ�ֽ��ʵ�����¹���������������·���Է�����̸��ʱ����˼����--Ulam

��ʵErdos������ζ������ܱ����ɵ������ٹ����еģ���Ϊ����FBI�������˰��ס�1941�꣬������Princeton��ʱ����һ�������� Princeton��ѧ�����ӾùȾ��ۺ�A.H.Stone��һ��ȥChicago�μ�һ�����飬;������������������������������һ�����ߵ緢����-- ������һ�����ܵľ����״�--�������գ����������֡�����������"3���ձ���������������������"�����Ǿ����Ĵ��Ѳ���������·�Ͻػ������ǡ�

FBI�ĵ�����Ա������Ϊʲôû�п���"NO TRESPASSING"�ı��ƣ�Erdos˵��"������˼�����⡣""˼��Щʲô��""��ѧ��"

���������ǵ����ݱ�ȷ�ϣ����ǵõ��ͷš��������Ѿ���FBI��¼�ڰ�������Erdos�����˲�����Ӱ�죬���Ǻ󻰡�

����22����

���ĵ�������طḻ�����ǵ�ҵ�����--һλPurdue��ѧ��ʦ��Erdos�Ļ���

���Ƶ�һ�����鷢����1943�ꡣ����Erdos��Purdue��ѧ����һ�ݷ�ȫ���Թ���������������Ĵ���ծ�����ӡ�

��Purdueʱ����������ҹ��ɢ������һ�Σ�����ҹ�������������������ס�ˡ���û���κ�֤����������ʣ�"���ڸ���""����˼�����⡣""˼�� ʲô��""��ѧ��"���������������ɵط������ˡ�

Purdueλ��һ������������С�����ǵ����ֻ���١�Purdue����ʦ��ÿ�ܶ�Ҫ�ۻ�һ�Σ�����һЩ����ʽ���ݽ������ۡ���һ���ݽ���û�е����� û��׼����Ľ�Ŀ��Erdos���Ը���£���̨�ݽ������������κθ��ӣ�����һ��������ʤ�Ĺ����۷��ɫ�Ӿ�����Ľ����о���չ״���ı��档̨�µ��˶��� �о��ȣ���Ϊ��û�뵽ֻ��������ѧ��Erdos�����ע���ණ����

����23����

�ɴ�ɱ������ĸ�׵�4�����á�--Erdos

ս���ڼ�Erdosһֱ�ò������˵�ѶϢ���ܹ������ǡ�1945��8�£��������յ�����Ϣ����ĸ����Ȼ���ڣ������������������ಡ��

�վ�ռ���������󣬺�ɫ ֲ �����˰�ɫ�ֲ������ʿ���ڽ�������ץ�ˣ������������˱�����������Ⱥ�������о��������Ҳû�л�����

Tur��n�������й�һ��Σ�յľ�������ʱ���ڲ�����˹��һ������Ѳ�߱���סȥ·����Ҫ���ʾ֤������Tur��n���ӹ��ɴ���Ѳ�������û���κ�֤������ ��֮�£����ó�һ��1935�����ġ���ľ˹����ѧ��ѧ�о���ͨ����������������Erdos������һƪ���ġ��Ȿսǰ��������־��ȻӮ����ʿ���ĺøУ��� �����������ˡ�����Tur��n����Erdosʱ���п���˵:"û�뵽���ۻ������������ã�"

ע��Paul Tur��n����������ѧ�ң���Ҫ�о����ۺ�ͼ�ۡ��� chocolate�Turan������


����24����

����Ulam����ĺ����ˣ���û������������˥������մ��������ħ����ĥ��������Ȼ������֤�����ܲ����ʱ����������ಡ����ʱû��ʹ�࣬û�п־塣- -Erdos

�������һλ�Ż��������ѧ�ң�����㲻�ҵ������ף�������������Բ��������ָ�����֮��ҽ����������һ�����⣺"8��13�ĺ��Ƕ��٣�"��ĸо����� �����ģ�

�����Ulam��1945�궬���������Ҳ������Ӵ�ɥʧ���Լ���ѧ���������ģ�--��������߳�ҽԺ��ʱ��û������Erdos. ���죬��Ulam�����ӵIJ�����뿪ҽԺʱ��ͻȻ����Erdos�������ֵس��������ǵ���ǰ��

"Stan���һ���Ϊ���Ѿ����ˣ���׼������д���棬���������������Ǻ�д�����ġ�"

Erdos����һ��С���ӣ�����װ������ȫ���Ʋ�����Ȼ���޴���ȥ������Ulam��������ȥ�Լ��ļҡ��ڳ˳��ؼҵ�·�ϣ�Erdos����Ulam������ѧ ���⣬��������Ulam��Ϣ��һ���ң�Erdos��ҪUlamͬ�����塣Ulam�����������е��ܽ��ţ�Ω���Լ��Ѿ��ѹ��������ˡ�����Ӯ�˵�һ��֮ ���ֻ�����Erdos���������ġ�ErdosҪ���µڶ��̣����Ulam��Ӯ�ˡ���ʱErdos˵��"����Ϊֹ�ɣ������ˡ�"Ulam�ŷ���ԭ�� Erdos������ġ�

Erdos��Ulam����ס�����ܣ���ͣ����Ulam������ѧ���⡣��Ulam��������Erdos�ǵ�һ������������ѧ�Ҷ����ǰ׳ջ���׼�׳տ����� �ˡ�

����25����

������40�꿪ʼ��--Erdos

1948�궬��Erdos�ص�������˹������������ĸ�׺�һЩ�����ѡ����ܿ�˹���־Ϳ�չ��һ�αʼ���������������߽硢Χ������Erdos���ò� �ٴ�������������������ڣ���������������Ӣ��֮�䣬���޶�����

��ʱErdos�Ѿ���ʼ���ż��ﲻͣ�ر�Թ�Լ��Ѿ����ˣ�������������˵���ϵ�����һֻ�ִ��������ļ���ϡ�����������"Paul��������40��ʱ�͸� �����֮�㣬����50��ʱ�ֻ���Σ�"������������˵��"���㡣"

��ѧ�ҵĴ����껪ͨ���Ǻܶ��ݵģ�����ѧ�������ж���������ְλ���Ա�֤��ѧ�ҵ����Erdos��������Ȱ��������һ������ְλ������˵��"Paul�� �����߽�����ѧ�ҵ����Ļ�Ҫά�ֶ�ã�"�����ش�"����40�ꡣ"�������ܾ���һЩ��ѧ������ְλ�����롣

����26����

��ѧ�ǿ�ѧ��Ů������������ѧ��Ů����--C.F.Gauss

��Լ��1792�꣬15���Gauss��������ķ�������֤��������������Ȼ���еĵķֲ��ܶ�Ӧ����1/log(x)�����������������Ĺ�ʽ����(x) ��Li(x) , �� x �� +��
�� 1
���Ц�(x)��ʾ������x�������ĸ�����Li(x)���� --- dt
2 log(t)

Gauss����д�Ÿ���ʱ������һЩ��������ѧ�ң����������������⣬��û���ܸ���֤����

�����ͬһʱ��Legendreͨ����ֵ���㣬��1808�����������һ�����鹫ʽ��

x
��(x)�� -------- �� �� x �� +��
log(x)��1.08366

���׿�����Gauss��Legendre����Ľ�����ʽ�ǵȽ׵ģ�ʵ���϶���ͬ�ڲ���
x
��(x)�� --- �� �� x �� +��
log(x)
������Gauss�IJ��������̺;�ȷ����

�����19��������������ѧ���⣺������������������Ƿdz����˾���ģ���Ϊ��������Ȼ���еķֲ�����˵�൱"��������"��������Ȼ�����������򵥵Ĺ�ʽ ��������

��Gauss��һ���У��϶��������˲���ʱ��;�����˼�����������ʱ�㿪ʼ�����������⣬������û��Gauss�������������о���¼������Ҳ�޷�֪�� ������������Ͼ������˶�Զ������ʮ�а˾�������û�н��������롣

ע��Carl Friedrich Gauss����Ҫ������19���͵ĵ¹���ѧ�ҡ���ͨ������Ϊ����ʷ����ΰ�����λ��ѧ��֮һ������������Archimedes��Newton.

Adrien-Marie Legendre����Ծ�ڴ����ǰ��ķ�����ѧ�ң�����ѧ�����෽�涼��������Ҫ���ס�

����27����

�ߵ�������������--����ע����һЩ�������Ķ����������������ԣ����Ǽ��״Ӿ�����ʵ�й��ɳ���������֤��ȴ���صü��ֻ�и���һ�� ���о��߲��ܰ����� �ھ���������dz��ڴ���ԭ�򣬸���ߵ�����������������ʹ֮��Ϊ��һ����ѧ������ϲ���Ŀ�ѧ��������ԶԶ�������ѧ��������֧֮�ϵ����޷ḻ�ԣ��Ǿ͸��� �����ˡ�--C.F.Gauss

���ȶ������������о���������Ҫ���׵���Chebyshev. ��֤���˴�������������C_1��C_2 ��ʹ����ʽ
x x
C_1---�ܦ�(x)��C_2---
log(x) log(x)
�Գ�ִ��x�����������൱��ȷ�ض�����C_1��C_2����ֵ������֤����
��(x)log(x) �ߣ� ��(x)log(x)
lim ----- ��1��lim -----
���� x x
x���� x����
Ҳ����˵�������(x)log(x)/x �ļ��޴��ڣ���ض���1. ��Щ���ɶ��Ǻ���Ҫ�Ľ�չ�������ҵ��ǣ���Chebyshev�ķ����޷�֤�����Ľ����

1859�꣬Riemann��������Ϊ"�۲�����һ������ֵ����������"�����ģ�������Ψһһƪ�������۵����ġ�����ƪ��8ҳ���������棬Riemann �״���̶�ϵͳ���о��˦ƺ���
�� 1
��(s)=�� --
n=1 n^s
�����ʡ�����ָ���������ķֲ���ƺ������ر��Ǧƺ��������������������е���ϵ������ƪ�������������������ڦƺ����IJ��룬����һ������������ Riemann���裺��(s)�����з�ƽ����㶼λ��ֱ�� Re(s)=1/2 �ϡ�

Riemann����ƪ����Ϊ�����ֲ����۵��о�ָ���˷����Ժ��ⷽ�����еĽ�չ���Ǵ�����˼���е����ġ�

1896�꣬��λ�������ѧ��Hadamard��de la Vall��e Poussin����Riemann��˼·�����Զ��������ø��������������֤���������������Ӷ�����������һ��������ʷ�����⡣����Landau, Hardy-Littlewood�������ú����۵�֪ʶ������������������֤����

���ϸ��˵�֤������Ҫ���æƺ����Լ�һЩ����ķ������ߡ�����Wiener��ʵ�����ķ���֤�������������ȼ���"�ƺ�������㲻��ֱ�� Re(s)=1 ��"����͸��������ţ�����������֤����ȻҪ�õ��ƺ����Լ�����ķ������ߡ�

1921�꣬G.H.Hardy������˵������һ�λ���"����һ����ѧ����������ij�ַ���֤����������Եù������ʣ�����һ���£����� ����û�г���֤���� ȴ������ġ������˭�ܸ������������ij���֤������ô���ͽ����������ǹ�ȥ������ѧ�к�ν'���'����ν'��dz'�Ŀ������Ǵ���ġ���ʱ���ǾͲ��ò����� ��������һ�ߣ���д�������ۡ�"

Hardy������1947�꣬������û���뵽��������ȥ�����������λ�������ѧ�Ҿ��Ʒ������Լ�������ѧ��Ķ��ԣ�����ȫ"����"�ķ��������������� ����֤�������������������������۵���д��

ע��Jacques Salomon Hadamard��������ѧ�ң�����ѧ�����෽����й��ף�����ΪPoincar��֮�����еĶ����֡�

Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vall��e Poussin ������ʱ��ѧ�ң����ǹ�����ѧ���ˣ�IMU��������ϯ��

Norbert Wiener��������ѧ�ҡ���ѧ�ң������۵Ĵ����ߣ��ڵ��ͷ�������ѧ�����������ۡ�������������������ѧ������ѧ�����෽�涼�о޴��ס�1964��� �������ҿ�ѧ���¡�


����28����

�Һ�ͬ�����ѧ�ң��Ҿ�������ʧȥ��һ��������ĵġ��ḻ��������Ļر���--Selberg

1949�꣬��λ�������ѧ�ң�31���Selberg��35���Erdos�ֱ������֤����������������������֤����ͬ���ǣ����ǵ� ֤��û���õ��ƺ� �������ҳ��˼��ޡ�e^x��log(x)�ļ������⣬û���õ��κθߵ���ѧ��֪ʶ��������΢�ֺͻ��ֶ�û���õ�������˵�����Ǹ�������һ����ȫ"����" ��֤������һ����䶯��������ѧ�硣
������������ 1 + x/1! + x^2/2! + �� + x^N/N! ���� e^x ��
�� �� 1/n ����log(x)��n��x
������һ������Խ����������Ҫ�õij���֤������

��Erdos��һ���У����ܷ�����1475ƪ���ģ��������������ij���֤���������л�ʱ������ijɹ�ȴ���١���Erdos�������ȴ�ܶ���̸����Ϊ����� �����������顣

��ʱSelberg������һ�����ʽ������������ʽ������Erdos. Ȼ���������˷ֱ��������������ʽ���������������ij���֤�������DZ�����������ͬһ����־��һ�𷢱����£��������ԵĹ�����Erdos�㵽������ѧ�ҷ� �ţ���������Selberg�Ѿ����������������ij���֤��������һ�Σ�Selberg����һλİ������ѧ�ң��Է����ھ�˵��"��֪����Erdos��-- ��˭���ţ�--�ó��ȷ���֤��������������"Selberg��͸���ģ������ȷ��������ģ���������иóɹ��Ĵ󲿷�Ȩ�档SelbergҲ�Ӵ��� Erdos��Ŀ��

����ѧ���У�����Ȩ�����۲����ټ����������ľ���Newton��Leibniz����΢���ַ���Ȩ�����ۡ���Erdosȴ���к�����̹�� �ػ�����Ը������� ����������ѧ˼�룬����Ŀ�IJ�����Ҫ��һ��ȥ֤��ij�����⣬��ֻ��ʹ�������õ����--�����Dz���������ġ�����Erdos�����д���¼��485������ �ߡ������Dz���ָ��Selberg������խ����Ϊ��ʹNewton����Gauss��������ΰ�����ѧ��Ҳ����������Ȩ������֮�С���ֻ��˵��һ�����硣

ע��Atle Selberg��Ų����������ѧ�ң������ۡ����ͷ�������ɢ��Ⱥ�����غ����ȷ�����й��ס�1950���Fields����1986���Wolf���� 1998��5��30����6��15��Ӧ������ѧ�����뵽�й�����ѧ�����ʡ�


����29����

����Erdos��˵�������������е�Ȩ�������DZ������˺�����Ȩ��һ����--M.Henriksen

1954�꣬Erdos������μ�һ���ڰ�ķ˹�ص����е�ѧ�����飬�����DZ�������������������뾳����֤����ʱ��������ʱ������������һƬ��ɫ�־�֮ �С��������ڵ�Erdos����������--һ�������������--��绰ʱ����û�˸Ұѵ绰���������

����ֵĹ�Ա�����Erdos�����뾳����֤�����������˸��ָ����޴������⡣

"��ĸ���Ƿ�������������кܴ��Ӱ�죿���������˼������˹����˹���ֵ�������"

"û�С�"Erdos�ش�

"�������˼������ۣ�"

"��û���ʸ����������������������Ǹ�ΰ�ˡ�"

"�뿪������������"--����һ��ϻ�����Ϊ˭��֪�����Ƿ񶨵ġ�

"�����ס������ڻ������������������Ϊ�Ҳ�֪�������Ƿ�����ҷ���������ֻ�Ǽƻ�ȥӢ���ͺ�����"

"������ܿ϶������������������뿪����������������"

"�ǵ�Ȼ�ˣ���ĸ�����Ƕ������кö�����Ҳ���Ƕ���"

������ʱ�������Dz����Գ�������ȥһ������������ҵġ�


����30����

�������ڰĴ����ǣ�����ȥ����������kΪ�������������㡭��--һ����͵�Erdos���ż��Ŀ�ͷ

�����û�и�Erdos���뾳����֤��Erdos����һ����ʦ������ߣ���������ء���Ժû�и����κ����ɡ�������ʦ���������IJ��� Erdos�ĵ������� �����и���һ��Erdosд����ס�ں�ɫ�й��Ļ��޸����ţ�"�װ��Ļ�����p��һ������������"Erdosһ��Ҫд1500�����ҵ��ţ������϶��������� ѧ���⡣������ֵĹ�Ա��Ȼ�������е���Щ���ǿ���������ѧ������ij�����롣

�������FBI�ļ�¼��Erdos������������һ���״�վ�������¼������������������߳����������������������ˡ�

Erdos˵��"��û��ȡ�����뾳����֤���뿪����������������������ȫ�ǰ��������������Ĵ�ͳ���£��㲻�����Լ���ƾ�����ڲ���"


����31����

����һ�����˵�ѧ�ߣ�wandering scholar������ʱ���������ޡ���Ч�ҵ��ǿ�ѧ��Ů���������κ��ر�ط����о�����--Rado̸Erdos

���ϳ�����֮��Erdos�����Լ��Ѿ�ûʲô�ط���ȥ�ˣ�����ֻ�����������µ�ǩ֤��Ӣ��Ҳ��ࡣ��ŷ�ĸ������Ҷ���Ը�����һ���Ժ�ɫ�й����Ƶ� �ˡ������ɫ�н�����������������סȨ�������ܾ�������ɫ�й��������ұ����Լ������������ա�

1955�꣬Erdos�������ǵĶ෽���ߺͺ����£����ڵ��Է����������������������䷢����һ���ر��գ�֤���������������񣬵�ӵ����ɫ�о�סȨ���� ��Erdos�ܹ����ɳ�������������ÿ�궼Ҫ��ȥ���Σ�����ĸ�׺������ǡ�

��Erdos��Զ�����ᰲ����һ���ط����������Լ������繫�����Ծ��˵��ٶȴ����ڸ�����ѧ����ѧ�о���֮�䡣�����㼣̤������ޣ� ���ڳ���25������ �������ѧ�о�����ңԶ�ĵط���ɸ�����Ҫ����֤����ʱ������Щ�ط��IJ�֪������־�Ϸ����Լ��ijɹ�������������ʮ������Ͱ�ʮ����������η����й��� 1990�꣬Ϊ���ٽ��ڰ�ʮٳ��ִ����ʮ���꣬���Ĵ���ѧѧ��������һ��ר����Erdos�����д��һƪ��Ϊ�����������е�ijЩ������ɹ�--ף�ҵ����� �ͺ����߿���80�ٳ��������ķ����ڸ�ר���ϡ�

����ȫ���Ʋ���װ��һֻ�ƾɵ�С�����һ���ڲ�����˹�����̳����������ɫ���ϰ��

���ˣ����ˣ������һ����̫�˵�������

ע��Richard Rado���¹���ѧ�ң����ƾ�Ӣ������Ҫ�о������ѧ��

���٣��й���ѧ�ң��о�����Ϊ���ۡ������ѧ�������ȡ�


����32����

Non numerantur sed ponderunter.�����ǿ��������dz��ء���--����

�ڹŴ��������Ĺ���Ժ��ͳ��ѡƱ���ǿ�Ʊ�������dz�������Erdos�����������ϵ���������ƽ��������ͬ���Ǻ��������ġ���ƽ��һ�˷� ��������ȥ����ͬ�� ���������ģ���һ�˷�����������������ѧ�Һ��������ġ�"�����ߵ���һ���³���ʱ���ҿ϶�ҲҪ���ˡ�"������˵��

�ǵģ�ÿ���˶���˥�ϣ�������ȥ������Erdos�Ծ��˵ľ���������--��������һ������Ҳ����˼����

��ʹ��70�����ʱ������һ�귢��50��ƪ���ġ�

��������д��һ�״���ʫ��

��һ�������ȷ���
Բ�Ƿ���Բ����˭֪��
��Erdos�ÿ������
д��һƪ������
һ�������Ѿ��ҵ�

��Erdos��������ʫʱ�������ÿ�����﷢��һƪ���ģ���ȴ�Ҳ�������������ѧ��־��


����33����

����Erdos���Ĺ����������DZ����ˡ�--Ralph Faudree

��֪����Щ�����ܵ�Erdos�ݷõ���ѧ���ǻ��кθд��������Ϸ�˹��ѧ��Ralph Faudree�Ǻܲ���Ӧ��������Erdosÿ�������Ҫ3��Сʱ��˯�ߣ�ÿ����������д��--�����й���ѧ�ġ��������󣬾��ñ���Ҳ�����������ˣ��� �ѵ��Ӵ򿪣��������ô��ġ���������ȥ��Faudree�����ҵ��ţ�"Ralph���㻹������"�Է���ʱ����Ҳ���ڲͽ���дд�������Dz�ͣ�������� ѧ���⡣

Faudree�����������"����ס��һ�������ں��㶼��Ҫ�����ˣ����������ߺ�ļ�����һ��᲻���յ����ĵ绰��'֤�������û�У��������������Ա ����'"


����34����

����Erdos��һ������Ϊ���п�ȡ֮������Ϊ��������10������ÿ�궼��·��˹ά�����ң�����һ������һ�����ڡ�--Michael Jacobson

1983�꣬Erdos��һ�ε�·��˹ά���ݷ�Michael Jacobson. ��ʱJacobson��û��飬���Ǿ͸�Erdosס��һ������Erdos�Ĺ������ж��ţ��Ѿ�����׼����֮һ��ƴ���������������ȻԶ��������Ԥ�ϡ�

"ͷһ�����Ǿ͹�������ҹ1�㣬���Ѿ���ƣ���ߣ���¥˯��ȥ�ˡ�������¥�µĿͷ���賿4��룬���������������������ѹ���ư��Ū�� һƬ�죬�����ڸ��� �Ҹ����ˡ���Լ6����ʱ���ҵ���ײײ������¥�������˵�ĵ�һ�仰��ʲô������'���Ϻã�'Ҳ����'˯�ú���'����'��n��������k�ǡ���'��ֻ���� һ��ԡ�£����������壬�۾����ǰ�����գ� ����€�����������ˡ��Ҹ���������ϴһ����ԡ�Ļ�������û�������о���ѧ�ġ�"


����35����

û����֪��Erdos���ںδ�������������֪�������ĸ����ҡ�����Ψһ�ܿ϶����ǣ����޴����ڡ�������ӽ��ڱ���̬���ˡ�--R. E. Bellman

���±ȶ��ش�ѧ��Mike Plummer����������һ�����飺"1983��ʥ����ǰҹ����һ�Ҷ��ڲ�����˹�����ʥ���ڿ���һ��¡�صĽ��գ����Ҹ������ž���һ�𿪲�������ж� ֹͣ�����ˣ����е�λ�����ȣ������������������ˡ�Ҫ�������⳵�Ļ�������ǰ�͵�Ԥ�������Ƕ��������·������ų��⳵��������ȥ��һ�����ѡ���������վ�� ����ʱ��ͻȻ����һ�����������Ҵ���һ������Erdosվ�����'Plummer,'��˵����'ʥ�����֡���f(n)�����º�������'����������һֱ ���۵����⳵��ʱΪֹ��Ҫ��ֹס���Ļ�����ȥ���Ǻ����ѵġ�"

ע��Richard Ernest Bellman��������ѧ�ҡ��ڱ�ַ����Զ����ơ��ƽ��ۡ������ۡ��˳�ѧ�ȷ���ȡ���˴����ɹ���������640ƪ���ĺ�44��ר����


����36����

Erdos��һ�ּ����˵ı��죬���ܰ����Ǵ���һ��ȫ�µ�ˮƽ��������ѧ���������Ƕ��ܹ�����ġ�--Joel Spencer

��ѧ�ң��������������ѧ�ң���Ը���Erdos�������⣬ErdosҲ�����߲��ܡ�ͨ����ÿ��һ���ط������ܸ��������ѧ�Һ�������һ��ƪ���ġ�����ѧ ���Ϊ����������һ��Ц����˵����һ�����𳵣���·�ϸ���ƱԱ���������һƪ���ġ�

�Ͼ�ʦ����ѧ�ĵ�����������������Erdos��"����"�����Ľ��ݲ������ʣ��������ͣ��ֳ��������嵲ס�ڰ壬ֻ���������дʣ�Ѹ�ٵ�д��Ѹ�ٵز�����֪ ��˵��Щʲô��Ҳ��֪����д��Щʲô��������֮�����ǻ������ҵ�Χ��ȥ�������������⣬�����뷨��


����37����

ȫ�������ѧ�ң�����������--F.Klein

��һ�꣬ErdosȥUCLA������ܶ��˶���������ۣ�������ʲôʱ���пա�Erdos���ǻش�"�κ�ʱ��"������ķ����ᆳ���ۼ���һ����ˣ��� Erdosͬʱ�ͼ�����ͬ�������۲�ͬ����ѧ���⡣

��������ת������һλ��������ͬʱ���ü��������塣Bruce Rothschild˵��"�ǿ��湻�̼�������������˺���ʱ����������û�ص������ߣ��㻹�е�ʱ�俼�ǿ��ǡ��㻹�л���֪�������������ֽ��ʲô���⡣ "

Erdos�Լ�����ͬʱ˼���ü������⣬����ȴϣ�����ĺ����߾�����������ͷ�������ϡ������������������ʱ������˵��"������С�"

ע��Felix Christian Klein���¹���ѧ�ҡ�������������Ǹ�ʱ�������Ǹ�͢������������ѧ�������֮һ��


����38����

����ȷȷʵʵ��һ����ѧ���⣬����ij��������˵ȴ��һ��΢���������ѧ���⡣--G.H.Hardy

����һ������Ҳ�ǹ������IJ���˼��ķ������ģ�40�����ʱ��Michael Golomb������Erdos����һλ�����������Nat Fine���壺"Erdosսʤ���ֵĻ�����٣���������ͨ������ս�������ҿ���Nat˫��������򢣬��ϸ�������������һ���壬��Erdosȴ�ƺ���ȫ ���ע���о�һ������ҽѧ��ٿ�ȫ�顭����������'Paul�����ڸ����أ��㲻�����ڸ�Nat������'���ش�˵��'�����ң�������֤��һ�������� '"


����39����

����û��ʲô���������Ӱ�����ѧ˼ά�Ľ��̣���Pythagoras,Newton��Einstein���ֱ������Dz�ͬ��ʱ���ı��˿�ѧ˼ά�ķ���- -G.H.Hardy

��һ�λ����ڼ䣬Erdos��������������һλ�й���ѧ����Χ�壬�ĸ���Ȥ����Ҫ��͵����¡�����֪���й�������"Go"�ĸ��֣����� ���������ĸ��ӡ��� ��ʱ����ȫ��"����"�������ϣ��۾��൱���ӣ�����һ����Ȼ�����ˣ���Ҫ������һ�̡��ڶ��̵�����������Ӯ����˿��û�о��죬���dz����ˣ�����˵�� "We are equal!"

ע��Pythagoras����ϣ����ѧ�ҡ���ѧ�ҡ�����������ʷ�ϵ�һ����ѧ���壬��̵�Ӱ���˹�ϣ������ѧ��չ��


����40����

��ѧ�Ӵ����۽Ƕȿ�����������õģ���������Խ���������硣--Erdos

Erdosֻ����ѧ����Ȥ�����Ⲣ����ζ��������ѧ�����������ȫ��֪�������¹������壬����Χ�壬������ƣ����ƹ���򣬶��������� ʮ��Ԩ������ʷ�Ϳ� ��֪ʶ��һ�Σ�����������ѧԺ���ݣ����˰�Erdos���ܸ�Lajos Elekes. Erdos���ȷ��ʣ�"�����ʲôְҵ��"��������֪��Elekes��һλ����дһ������15��������������J��nos Hunyadi�������ʷѧ��ʱ���������Զԣ���Erdos����׷�ʣ�"������������1444���߶���ս���вҰ����������ԭ����ʲô��"


����41����

��ij��������˵����ѧ��Ψһ���޵��������������������ս���һ��������ѧ��������ѧ��ȫ��֪ʶ����������Զ�޷�����е���ѧ֪ʶ����Ϊ��ѧ���� �����޹��ġ����ֱ����������ġ��������ѧ��Ϊ��Ψһ��Ȥ��ԭ��--Erdos

Erdos���һ�ο�С˵����20����40��������һ�ο���Ӱ����50�������һ�Σ�һλͬ�´���ȥ�������Ŀ����������������ͷ��û��̧������һ���� ������ȥ���ƾ磬�ɱ���û��ʼ����˯���ˡ�

40�����ʱ��UCLA�����й�Ϊ�й����е�ļ����������Erdos���飬�����������һ��ȥ�������裬��ô���Ǿ;���100�� Ԫ���������˵��� �ϣ�Erdos��Ȼͬ���ˡ�������֧����100��Ԫʱ��Erdos�����˵��"�ޣ���ƭ�����ǡ���ȡ�����۾�����ʲô���������ˣ�"


����42����

Erdos��֤�����Ǻ�Ư����ʹ�õļ��ɳ����ȱ��˵ĸ��á����߳���--M.Golomb

Erdos��������ѧ������й��ף��������ǻ�ԶԶ����������רҵ����George Purdy����������һ���£�"1976�������ڵ���ũ��ѧԺ����ѧ��Ϣ�Һȿ���ʱ�������ڰ�����һ���йط������������⡣���������Erdosһ���� ֪��������֪������λ�ⷽ���ר�Ҹոյó�һ������30ҳ�Ľ����˶�մմ��ϲ��Erdoşͷ���˿��ڰ�˵����'����ʲô����Ҳ��һ�����⣿'��˵' �ǵ�'��Ȼ�������ߵ��ڰ�ǰ�������۾����˿��Ǹ���Ҫ���������⡣�����˼����йط��Ŵ���ʲô���壬�����������д��һ�����еĽ��Ҫ���ǻ�����ħ���� ʲô�����أ�"


����43����

�ϵ۲������ӡ�--Einstein

��ѧ������Ҫ��ȷ�ġ���Erdos������һ�ִ���������ĸ���֤�������������������֤��֮�С�������֤������������ڵĸ��ʺܴ� ������1���������� ���졣���ְ취�ڼ�����ᆳ�����õ�������һ������һ�����⣺����Ӧ��������ţ�����Ӧ�������ҽţ���������������Ҫ��һ�������Ļش��Ǿ���ôҲ���� �˲������DZ��������ѭ������õİ취����һöӲ�ң����ϵ���������ѡ��

1989�꣬Ϊ����Erdos����֤�������ķ��֣��μ��ڲ����������ٿ������ͼ�ۻ������ѧ���Ǿ�����һ��������ܡ������������ܵ�����ʱ��˭Ҳ��֪�� �յ���������ܿ�ʼǰ��Erdos��Ϊ ������һö�޴�������Ծ�����ʼ��Ȧ��������ҿ�ӽ��յ���ʱ��Erdos������һ�������Ծ��������ӵ�Ȧ������Erdos���ĵ�Ц�ˣ���Ȼ���Լ������� ��"���˵�SF"��ɫ�൱���⡣


����44����

��λ�������������˵˽�вƲ�����ȡ֮�������Ϊ˽�вƲ�������׸��--Erdos

Erdosÿ����һ���޼ҿɹ���ˣ���Ҫ����ЩǮ��D.G.Larman�������"60����������һ����׶ش�ѧѧԺ��һ��ѧ��ʱ�� Erdos�������ѧ һ�ꡣ����һ���µĹ��ʸշ�����������˹�ٳ�վ����һ����ؤ����Ҫ��Ǯ��Erdos�ӷŹ��ʵĿڴ�������֧���Լ���������������ú��ʣ�µ�Ǯ�������� ؤ��"

ÿ������֪һ�����£�����˵�����𲽵Ĺŵ����ֵ�̨�������������˶�����ʧ��ͯ�����������ͻ��һЩǮ������ȥ��һ���������������֯������д�ű�ʾ�� л��

����45����

�ⶫ����ֻ��һ�������Ϳ���ʹ�ڵı�ɰ׵ģ���ı�����ģ����ı�ɶԵģ��������������˱�����꣬ų������ʿ��--ɯʿ���ǣ����ŵ��̩�š�

1984�꣬Erdos���Wolf��ѧ��������5����Ԫ����Ĵ󲿷־����������ĸ�����������Ľ�ѧ���Լ�ֻ����720��Ԫ����������ȥӡ�Ƚ�ѧ���� �õı��궼�����һλ����ƽ����ӡ�ȸ�Ů--Ramanujan�����ס�

80���ĩ��Erdos��֪һλ��Glen Whitney�ĸ������뵽Harvardȥѧ��ѧ��������һ���ѧ�ѡ�Erdos���������˼����档������������ѧ��ȷ������ʱ���ͽ������1000�� Ԫ�������߶Է�ֻ���ڲ���ɾ������ѵ�����²Ż�Ǯ��10���Whitney�������������Ǯ�ˣ�����Graham��"ErdosҪ��Ҫ��Ϣ�أ� "Graham��Erdosѯ�ʣ�Erdos�ش�"������������1000��Ԫȥ���ҵ����������¡�"


����46����

ֻҪһ�ſ�ѧ��֧��������������⣬���ͳ�������������������ȱ����Ԥʾ�Ŷ�����չ��˥������ֹ��--D.Hilbert

Erdos�����ڸ�����ѧ��־���׳�һЩ�����������ѧ���⣬������Ŀ������Ԫ����ǧ��Ԫ���ȡ����������˶�����Erdos��������⣬��Ȼ��������Ϊ�� ����Erdos���������������Ҫ����Ȥ���ܶ��˾����ڽ������Щ�����������ѧ��·�ġ�

��������Erdos���������е����ⶼͬʱ����ˣ��������ô��������֧��������Erdos��Ȼ֧�����𡣲�������Ϊ��������ͬʱ�� ���Ŀ�����̫С�ˣ� �������⼷�ҵĸ��ʻ�ҪС��Erdosȥ������������Graham��������֧������ͼ�������ϵĽ����ܶ�Լ10000��Ԫ������˹��һλ���м������ ֧�����������������Ľ���

������һ������ǧ��Ԫ��������⣺

�������������a1,a2,���������������ʣ�
��
�� 1/ai ����
i=1
��ôԭ���������д��ڳ���Ϊ������Ȼ���ĵȲ����С�


����47����

�����Ǵ�������Ϊ���ǻ�������Ҳ��������ֱ��4��ʱ����ʱ������ĸ�׹��̵꣬ͻȻ��ʶ���Լ����ˡ��ҿ�����������֪���һ����ġ�����ʱ���������������� һЩ��--Erdos

������ʮ�����Erdos��һ���������������Լ��Ѿ����ˡ�1970�꣬������ɼ������һ��"�Ҵ�����ѧ��ǰ25����"�Ľ��ݣ�"���� ��Сʱ����˵������ ��20�������䡣���ڣ���ѧ����˵������45���ꡣ����һ�����Ҿ���25�����ˡ�"��������ѧ���ǻ���һ��ʱ�����ߣ�����Erdos������һ������������ ������"��������ôһ���£�"Erdos��"�㿴���������ˣ���Ϊһ������ֻ�ǵú���ʱ����£���������������ų����ģ�����1������ǰ��"


����48����

һ����˥�ϵĵ�һ����־�����������Լ��Ķ������ڶ�����־������������������������־���������������� --Ulam

70�������Erdos��ʼ��P.G.O.M.�������������֣���Ϊ"Poor Great Old Man"������60��ʱ���ͳ���P.G.O.M.L.D.��L.D.��"Living Dead"����65��ʱ���ֳ���P.G.O.M.L.D.A.D.��A.D.��Ϊ"Archaeological Discovery"��70��ʱ��������P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.��L.D.��"Legal Dead"��75��ʱ���ֳ���P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.��C.D.��"Counts Dead"�������͵���"��������ѧԺ��200����Ա������Ա��75��ʱ�����������ڿ�ѧԺ�����г�ֵ���Ȩ�����Ѳ��ټ�Ϊ��Ա�ˡ������'��������'�� ���塣"


����49����

�Ҵ�δ����ʲô"����"�����顣�ҵ��κη��ֶ�û�У�Ҳ�����ܶ�ƽ������ʵ�������ʲôӰ�죬������ֱ�ӵĻ��Ǽ�ӵģ�Ҳ����������Ļ��Ǹ���ġ�-- G.H.Hardy

��Hardy��ͬ��Erdos����ѧ��Ӧ�ø������̣���ʵ�����ĺܶ�ɹ��������Ӧ�á���Erdos����Ȥֻ��"����"��ѧ���棬������ȷ�����κ����봿 ����ѧ������

V��zsonyi�������"����Ϊ������һλ��ѧ�һ���ȥ��ѧԺ��һ������ʦ��������ԥ����ʱ��Erdos�����ң�'�һ������������һȥ��ѧԺ���Ҿͱ� ���㡣'һ�仰�Ͱ��Ҹ㶨�ˡ�"


����50����

ÿһ���ܹ������ƾٵĶ���ͬ��Ҳ�ܹ����ڶ��С�������ף�ȷ������������΢�ַ���ͬ��Ҳ��������Ⱦ�����ɢ����ˣ����Ǽ�������ɢ�����������ܷ�ֹ��Ⱦ�� ��ɢ��--Erdos

��ս�ڼ䣬M.Kac����MIT�ķ���ʵ���ҹ����������ݵ�ʱ���о��ɹ��ڡ�Ӧ��������־���Ϸ�����һƪ���ġ�Ȼ�������յ���Erdos�ĸ���������Ƭ�� ����ֻ��һ�仰��"��Ϊ������������"


����51����

One should have a general attitude of welcoming to everybody.--B.Russell

Erdos�dz�����ͬ���ġ�1945�꣬����һλ��ѧͬ�м���μ����ᣬ�������Ҵ��˸��к����㲻������Ӱ��ֱ����������ʱ���ٴ� ��������ԭ�� Erdos��֪������һ��˫Ŀʧ�����ϸ��ף��������μ����ᣬ������ش���¥�ϵ�һ�����������Erdos��Ը��������ѧͬ���ǹ��������Ļ��ᣬ����¥ ȥ�����λ�¶���ʧ�����ˡ�

Peter Winkler̸����һ���£�"������һ���dz�������ѧ������ϧ������̱���������������Paul��һ�μ�����ʱ������������ȥ��ѯ�����IJ����Ԥ��״ ����Erdos��10�����ڶ����ѧ�����˽���������������о���ѧϰ�ڼ�������˽ⶼҪ�ࡣ�˺�Erdos�����ѧ�����о��������ǹ���--��ʱ������ ��������IJ�ʿ���ģ�--���˺ܶ��пϵĽ��顣������������������һ���в�ʤö�١�"


����52����

ÿ������Erdos���ص�������ʱ������Ҫ�ʺ���Щ�����ĸ�Ů�ǡ��⻨����Щ��ѧ�ҵ�ĸ�׺������ϵ�ʱ���Ҫ�ĵ����������ͷ�����졣 --Vera S��s

1994���ڲ�����˹��Erdosȥ��������һλ�����ѵ���ĸ����λ�Ϸ����������Σ����ҳ���ij��ԭ�������ھ����ʹ���С�����ס���� Թ���ı�ķ��"��� ���Ƕ���""Ϊʲô���ȸ�Erdos���������ϲ裿"���ߵ�ʱ��ķ�ѿ������ͳ��ţ�Erdos������һ���൱����С�ѣ������Ƕ�������ί����һ�ְ� ο��

Erdos���Ǿ��Լ��Ŀ��ܰ������ˡ������޷��ĵĶ���˹��ѧ������������ʱ�������Լ����е�Ǯ���������ǡ�

����ά����ѧ��Aleksandar Ivic̸������һ���£�һ������Erdosһͬ�ڲ͹ݳԷ�������������һ���������⣬ErdosͻȻ�Ӷ����ͳ�һ����ͬ���ҵij�Ʊ������һ����͵���� ˵��"���Űɣ���֪�������ں�ȱ��㡣"Ivic�dz����ȣ���Erdos˵���ӱ���������Ŀǰ�����Ρ��������ƿ������ڿ�Ԥ���Ľ����ǻ��������Ǯ�ġ� Erdos���Ҫ��������Ivic���ջ���û��Ҫ��